1、四阶对称群S4有24个元素：
a = SymmetricGroup[4];
GroupOrder[a];
b = GroupElements[a]
其中的单位元是Cycles[{}]，表示不变。
2、对于S4里面的元素x，代表了一种轮换。
比如：
Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{3, 4}}]]
把{p, q, r, s}的第三个元素和第四个元素轮换一下。
3、Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{2, 3, 4}}]]
第四个元素跑到第二个位置上，第二个和第三个向右移动一个位置。
4、设x和y是S4的两个元素，那么xy表示先执行y，再执行x。
PermutationProduct[y,x]表示xy。
比如：
PermutationProduct[Cycles[{{2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 2}}]]
Permute[{p, q, r, s}, %]
结果和下面的一样：
Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{2, 3, 4}}]];
Permute[%, Cycles[{{1, 2}}]]
5、产生S4的乘法表：
TableForm[GroupMultiplicationTable[a], TableHeadings -> Automatic]
6、查看S4里面，所有的二阶元素：
c=If[# != Cycles[{}] && PermutationProduct[#, #] == Cycles[{}], #,
0] & /@ b // Union // Drop[#, 1] &
一共有9个。
7、c加上单位元，能构成一个S4的子群吗？
看看它的乘法表：
c = If[PermutationProduct[#, #] == Cycles[{}], #, 0] & /@ b // Union //
Drop[#, 1] &
TableForm[Table[PermutationProduct[m, n][[1]], {m, c}, {n, c}],
TableSpacing -> {5, 2}]
