1、环需要两种运算法则。加法的定义是：
2、先证明加法保持R封闭：
∵a、b∈P，
∴a+b∈P，
同理a'+b'∈Q，
∴(a+b,a'+b')∈R
3、加法满足交换律：
a+b=b+a
a'+b'=b'+a'
4、R的每个元素都有加法逆
我们用0P表示P的零元素，用0Q表示Q的零元素，那么，(0P,0Q)就是R的零元素。
设a'是a在P里面的加法逆，b'是b在Q里面的加法逆，那么，(a',b')就是(a,b)在R中的加法逆。
综上所述，R是一个加法的Abel群。
5、乘法的定义：
6、证明，乘法满足结合律，还有，乘法与加法的结合满足分配率。
