1、先来构造弧长函数：
Floor[(2 x)/Pi] Sqrt[2] +Sqrt[2] Sin[x + Floor[(2 x)/Pi]*(Pi/2)]^2
2、这是一个单调递增函数，其图像如下：
3、试图通过解方程的方法，来求取反函数，结果是不能求取。
4、用分段函数来表示弧长函数：
l[x_] := Piecewise[{{Sqrt[2] Sin[x]^2, 0 <= x <= Pi/2},
{Sqrt[2] + Sqrt[2] Cos[x]^2, Pi/2 < x <= Pi},
{2 Sqrt[2] + Sqrt[2] Sin[x]^2, Pi < x <= Pi*3/2},
{3 Sqrt[2] + Sqrt[2] Cos[x]^2, Pi*3/2 < x <= Pi*2}}]
用这个分段函数解方程，可以算出反函数：
5、把这个求解结果，转化为分段函数，并绘制图像：
ll[t_] :=
Piecewise[{{1/2 ArcCos[(Sqrt[2] - 2 t)/Sqrt[2]], 0 <= t < Sqrt[2]},
{1/2 (2 \[Pi] - ArcCos[-((3 Sqrt[2] - 2 t)/Sqrt[2])]),
Sqrt[2] <= t < 2 Sqrt[2]},
{1/2 (2 \[Pi] + ArcCos[(5 Sqrt[2] - 2 t)/Sqrt[2]]),
2 Sqrt[2] <= t < 3 Sqrt[2]},
{1/2 (4 \[Pi] - ArcCos[-((7 Sqrt[2] - 2 t)/Sqrt[2])]),
3 Sqrt[2] <= t < 4 Sqrt[2]}}]
Plot[{l[x], ll[x]}, {x, 0, 2 Pi}, AspectRatio -> Automatic,
PlotRange -> {{0, 2 Pi}, {0, 2 Pi}}, ImageSize -> {360, 360}]
6、对这个分段函数进行整理，可以集约化为一个统一的表达式：
7、通过图像可以证明，这个函数确实是弧长函数的反函数。
