1、声明这些向量空间是形式上的，是因为空间里面的向量之间的作用方式不明确，但是在群元素的作用下，集合的元素可以相互置换。在唁昼囫缍这些形式的向量空间里面，我们就不考虑向量的乘积等概念，只考虑群作用的结果和标量乘法。子空间V1是一个群不变的子空间。因为群作用下，Ω只是元素发生置换，元素不增不减，因而元素形式和保持不变，这说明群作用下V1的元素仍旧属于V1。
2、同样的理由，可以证明，V2也是群不变子空间。
3、要证明V是V1和V2的直和，就是证明V中的每一个向量v可以用一个V1里面的向量v1和V2里面的向量v2表示出来。这无非就是在域K里面解一个方程组。
4、假设G在V、V1、V2里面的表示分别记为φ、φ1、φ2。那么φ就是后二者的直和。
5、如果把两种表示对应的矩阵表示记为Φ、Φ1、Φ2，那么Φ就可以记为Φ1和Φ2的直和。
6、如果给定Ω的元素是复平面上某个正三角形的三个顶点，那么，V1和V2就可以表示为如下形式，原则上可以据此给出对称群S3的一个2次表示。
