1、环R的理想I的第二定义是：环R的理想I满足：以R的元素为系数，I的元素的线性组合r1i1+r2i2+…∈I。
2、下面，我们证明，满足第二定义的I满足第一定义。先证明I关于加法封闭：设R的乘法单位元为1，对I的任意两个元素i、j，1i+1j=i+j∈I。
3、I里面的任意元素i，存在加法逆。这是因为R是加法Abel群，加法单位元是0，所以1存在加法逆元，记为-1。因为1i+(-1)i=i-i=(1-1)i=0，所以，-i是i的加法逆。
4、因为I关于加法封闭，且关于加法可逆，所以，I是加法群。因为I是R的子集，所以I是R的加法子群。
5、第一定义的第二个条件，是第二定义的直接推论。
6、综上所述，这两个定义等价。
