【微分几何】曲面曲线在切平面上的投影

1、先给出曲面：r[u_, v_] := {2 Cos[u] Cos[v], 2 Cos[u] Sin[v], Sin[u]}

2、在曲面上确定一个点。xx = 6; yy = 3.2;Graphics3D[{Green, Ball[r[xx, yy], 0.1]}]

3、作这个点关于曲面的切平面。qiepingmian=({X,Y,Z}-r[xx,yy]).(Cross[D[r[u,v],u], D[r[u,v],v]]/.{u->xx, v->yy});

4、作一条经过这个点的曲线。nn = 0.1;ParametricPlot3D[r[xx u, yy u], {u, 1 - nn Pi, 1 + nn Pi},PlotStyle->Green]

5、算出这条曲线在切平面上正投影的参数方程：s = Solve[{qiepingmian == 0, (r[xx u, yy u] - {X, Y, Z}).(D[r[u, v], u] /. {u -> xx, v -> yy}) == 0, (r[xx u, yy u] - {X, Y, Z}).(D[r[u, v], v] /. {u -> xx, v -> yy}) == 0}, {X, Y, Z}] // Values // Flatten;下图中的蓝色曲线就是所求的正投影。

6、绿色曲线在图中那个点的测地曲率，茧盯璜阝就是正投影曲线在那个点的曲率。如果测地曲率为0，那么正投影曲线在那个点附近就应该是"直"的。如果曲面上某曲线每一个点的测地曲率都等于0，那它就是曲面的测地线。